黑輪公式(一)之推導與證明 @ 喵喵之地

黑輪公式

這是黑輪(不是啦

今天要介紹海龍公式，諧音黑輪公式(喂

以下提供推導與證明

推倒推導

動畫版http://web.chsh.chc.edu.tw/bee/oldmath/flash/044.htm

正常版http://tw.myblog.yahoo.com/oldblack-wang/article?mid=321&prev=-1&next=316

證明

台北市立第一女子中學數學科蘇俊鴻老師/國立台灣師範大學數學系許志農教授責任編輯

現行有關高級中學教材的安排，海龍公式出現在三角函數的學習脈絡中，被當成熟練餘弦定律的典範例(以99 課綱來說在高二上學期)。它的證明過程涉及了教師在三角函數教學會強調的知識與技巧。比如：透過平方關係轉換正餘弦；餘弦值與邊長的關係；乘法公式的使用。

然而，這樣的安排卻也造成對海龍公式認知上的侷限。教師很少進一步討論：海龍公式為何會被提出？在海龍公式中， $S$ － $a$ ， $S$ － $b$ ， $S$ － $c$ 有什麼幾何意義？有沒有其他證明海龍公式的方法？是否只能在三角函數的脈絡下，介紹及證明海龍公式？本文中將介紹海龍、梅文鼎（1633-1721）、李善蘭（1810 -1882）及美國羅密士（E. Loomis, 1811-1889）等四人的證明，試圖由教學的觀點，說明這些證明中所呈現的特色。就由海龍的原始證明看起。

對於西元一世紀的海龍來說，他並沒有今天這樣簡潔有力的符號代數及規則可供其運用，他在《Metric》所提出的證明是純幾何式的。為了便於說明，令 $overline{BC}$ = $a$ ， $overline{AC}$ = $b$ ， $overline{AB}$ = $c$ ，。見下圖一，下列的幾何性質是海龍是熟悉的： $overline{AE}$ = $overline{AF}$ = $S-a$ ， $overline{BF}$ = $overline{BD}$ = $S-b$ ， $overline{CE}$ = $overline{CD}$ = $S-c$ 及 $S$ = $(S-a)+(S-b)+(S-c)$ ，其中， $S$ = $displaystylefrac{1}{2} (a+b+c)$ 。證明一開始，便明白地說明他的出發點：由於△ABC面積= $displaystylefrac{1}{2} (a+b+c)$ × $r$ = $s$ × $r$ ，其中r是內切圓半徑。因此延伸 $overline{CH}$ = $s$ － $a$ ，使得 $overline{BH}$ = $s$ 。

我們只要得出比例式：

接著

則海龍公式的正確性就大功告成了。

筆者曾在課堂上向學生介紹過此一證明，雖說其證明過程有些關鍵步驟(如相似三角形的選取)很難重現海龍的想法從何而來，但整個證明可以向學生展現其國中所習得之幾何性質的綜合運用，對於學生重新審視與評價所學習到的平面幾何學的相關知識，是有其教學上的價值。

梅文鼎與海龍的出發點相同，先延伸 $overline{CH}$ = $s$ － $a$ ，使得 $overline{BH}$ = $s$ 。但不同於海龍，梅文鼎所求出的比例式為：

見圖二，梅文鼎用來建立比例式的相似三角形為△BID與△BGH。從教學的觀點來看，這組相似三角形關係的建立是比較容易引導學生觀察。由於相似，可得：

接著，將 $overline{GH}$ × $overline{ID}$ 換成 $overline{CH}$ × $overline{CD}$ ，整個證明就告完成。為達此目的，再利用△CGH 與△ICD 相似，則：

然而，如何證明△CGH 與△ICD 相似呢？這是梅文鼎這個證明最大的挑戰，梅氏透過△GKC、△GAL與△GAC三者全等，推得 $overline{GJ}$ 與 $overline{CJ}$ 垂直，進而導出△CGH 與△ICD 相似。不過，如何證明△CGH 與△ICD 相似，是此證明的困難所在，這也是梅文鼎的圖形比海龍的圖形複雜許多的原因。